1.1.1. Teoría de Conjuntos: Nociones Fundamentales sobre Conjuntos

Nociones Fundamentales sobre Conjuntos.

Introducimos aquí las ideas básicas de la teoría de conjuntos y establecemos la terminología y la notación. También discutimos algunos puntos sobre la lógica, ya que es necesario evitar la producción de contradicciones.

Notación Básica Habitualmente usaremos las letras A, B, C, ... para representar conjuntos y letras minúsculas, como a, b, c, ... para representar los elementos u objetos que pertenecen o forman parte de esos conjuntos. Si un objeto a pertenece a un conjunto A, expresaremos ´este hecho con la notación: 

El símbolo de igualdad “=” para nosotros va significar identidad lógica. De modo que cuando escribimos a  =  b estamos queriendo decir que a y b son símbolos para el mismo objeto. Es la misma situación, por ejemplo, que en aritmética cuando se escribe 2/4 = 1/2 . Análogamente, la ecuación A = B establece que “A” y “B” son símbolos distintos que representan el mismo conjunto. De aquí, podemos concluir que dos conjuntos son iguales si están formados precisamente por los mismos elementos.

Si a y b son elementos distintos, escribiremos:

si A y B son conjuntos diferentes, escribiremos:

Por ejemplo, si consideramos que A es el conjunto de los n´umeros naturales y B es el conjunto de los enteros,

 ya que tienen diferentes elementos.

Diremos que A es subconjunto de B, si cada elemento de A es tambi´en un elemento de B y expresamos este hecho escribiendo:

A ⊂ B

Observe que nada en esta definición impide que A sea diferente de B, de hecho, si A = B, es cierto que A ⊂ B y que B ⊂ A. Si A es subconjunto de B y ademas son conjuntos diferentes, diremos que A es un subconjunto propio de B y escribiremos:

Las relaciones:

Se denominan inclusión e inclusión propia respectivamente. Si A ⊂ B, también podemos escribir 

B ⊃ A y se lee “B contiene a A”.