1.1.1.2 Teoría de Conjuntos: Representación de Conjuntos

Representación de Conjuntos

¿Como se puede especificar el contenido de un conjunto? 

Si el conjunto tiene pocos elementos, basta con enumerarlos escribiendo “A es el conjunto que contiene los elementos a, b, c”. Esta situación la escribimos de manera simbólica como:  

A = {a, b, c} 

donde las llaves encierran la lista de los elementos del conjunto y cada elemento del conjunto lo separamos por comas.

De cualquier forma, la manera mas común para especificar los elementos de un conjunto, consiste en expresar alguna propiedad que dichos elementos verifiquen. Por ejemplo podemos tomar el conjunto B como el conjunto formado por todos los números enteros pares. Esta situación se expresa de manera simbólica como sigue:  

B = {x|x es un numero par} 

En resumidas cuentas, podemos especificar los elementos que forman un conjunto, o expresar el conjunto propiamente dicho, de tres maneras: 

1. Mediante Lenguaje Natural: Cuando expresamos el conjunto de manera común por ejemplo el conjunto de las plantas, el conjunto de los animales, etc.

2. Por Extensión: Cuando expresamos el conjunto nombrando cada uno de sus elementos entre llaves. Por ejemplo:   A = {1, 2, 3, 4, 5},   D = {m, n, o, p}. 

Debe tomar en cuenta, que cuando use esta notación, no debe repetir elementos dentro del conjunto, de ´esta manera el conjunto B = {d, a, d, o}, esta mal escrito, ya que se repite dos veces el elemento ”d”dentro del conjunto. Ademas debe separar cada uno de elementos por comas (,) para evitar confusiones, de esta manera, si tenemos el conjunto A = {Lima} y el conjunto B = {L, i, m, a} vamos a tener que: 

ya que el conjunto A esta formado por un solo elemento y el conjunto B indica que esta formado por 4 elementos. 

3. Por Comprensión: Cuando expresamos el conjunto mediante alguna propiedad de los elementos del conjunto. Por ejemplo A = {x|x es un triangulo},   B = {y|y es un numero mayor que 5}, etc.

Ejemplo:  Expresar el conjunto de los números naturales mediante extensión y comprensión: 

En primer lugar, recordemos que el símbolo que se ha adoptado de manera universal para representar a los naturales es N.  De esta manera tenemos: 

a) Por Extensión: Se puede expresar el conjunto como N = {1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, ...} Observe que se usan puntos suspensivos para denotar que los elementos del conjunto se extienden de manera infinita (los números naturales son infinitos). 

b) Por Comprensión: En este caso, la propiedad que conocemos del conjunto es que justamente son números naturales de esta manera podemos expresar  N = {x|x es un numero natural}.

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1.1.1. Teoría de Conjuntos: Nociones Fundamentales sobre Conjuntos

Nociones Fundamentales sobre Conjuntos.

Introducimos aquí las ideas básicas de la teoría de conjuntos y establecemos la terminología y la notación. También discutimos algunos puntos sobre la lógica, ya que es necesario evitar la producción de contradicciones.

Notación Básica Habitualmente usaremos las letras A, B, C, ... para representar conjuntos y letras minúsculas, como a, b, c, ... para representar los elementos u objetos que pertenecen o forman parte de esos conjuntos. Si un objeto a pertenece a un conjunto A, expresaremos ´este hecho con la notación: 

El símbolo de igualdad “=” para nosotros va significar identidad lógica. De modo que cuando escribimos a  =  b estamos queriendo decir que a y b son símbolos para el mismo objeto. Es la misma situación, por ejemplo, que en aritmética cuando se escribe 2/4 = 1/2 . Análogamente, la ecuación A = B establece que “A” y “B” son símbolos distintos que representan el mismo conjunto. De aquí, podemos concluir que dos conjuntos son iguales si están formados precisamente por los mismos elementos.

Si a y b son elementos distintos, escribiremos:

si A y B son conjuntos diferentes, escribiremos:

Por ejemplo, si consideramos que A es el conjunto de los n´umeros naturales y B es el conjunto de los enteros,

 ya que tienen diferentes elementos.

Diremos que A es subconjunto de B, si cada elemento de A es tambi´en un elemento de B y expresamos este hecho escribiendo:

A ⊂ B

Observe que nada en esta definición impide que A sea diferente de B, de hecho, si A = B, es cierto que A ⊂ B y que B ⊂ A. Si A es subconjunto de B y ademas son conjuntos diferentes, diremos que A es un subconjunto propio de B y escribiremos:

Las relaciones:

Se denominan inclusión e inclusión propia respectivamente. Si A ⊂ B, también podemos escribir 

B ⊃ A y se lee “B contiene a A”.

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1.1. Teoría de Conjuntos: Introduccion

Introducción 

La idea de agrupar objetos de la misma naturaleza para clasificarlos en “colecciones” o “conjuntos” es parte de la vida diaria de los seres humanos. Por ejemplo, el conjunto de libros de una biblioteca, el conjunto de arboles en un terreno, el conjunto de zapatos en un negocio de venta al publico, el conjunto de utensilios en una cocina, etcétera. En todos estos ejemplos, se utiliza la palabra conjunto como una colección de objetos. Vamos adoptar, un punto de vista sencillo en lo relacionado a la teoría de conjuntos. Supondremos que lo que se entiende por conjunto es algo intuitivamente claro, y procederemos sobre esa base. Diremos de manera inmediata, que un conjunto es una colección de objetos. En este sentido un conjunto es una agrupación, asociación, colección, reunión, unión de integrantes homogéneos y heterogéneos, los cuales pueden ser de naturaleza real o imaginaria. En conclusión pueden estar integrados por letras, números, meses de un a˜no, astros, países, mares, ¿vacas voladoras?, etc., a los integrantes en general se les llama elementos del conjunto. El origen de este concepto se debe al matemático alemán George Cantor (1845- 1918). Su objetivo era el de formalizar las matemáticas como ya se había hecho con el calculo cien años antes. El concepto de conjunto es uno de los mas fundamentales en matemáticas, incluso mas que la operación de contar. De esta manera, comprender la teoría de conjuntos se vuelve fundamental para el estudio de cualquier ciencia.

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1.0. Teoria de Conjuntos: Un poco de historia

Un poco de Historia 

El concepto de conjunto es uno de los mas fundamentales en matemáticas, incluso mas que la operación de contar. De ´esta manera, comprender la teoría de conjuntos se vuelve fundamental para el estudio de cualquier ciencia. 

George Cantor (1845-1918)

El origen de la teoría de conjuntos se debe a este matemático alemán. Su objetivo era el de formalizar las matemáticas como ya se había hecho con el calculo cien anos antes. Es decir, su idea era dotar las matemáticas de una estructura. 

El concepto de conjunto es uno de los mas fundamentales en matemáticas, incluso mas que la operación de contar. De esta manera, comprender la teoría de conjuntos se vuelve fundamental para el estudio de cualquier ciencia 

El origen de la teoría de conjuntos se debe a este matemático alemán. Su objetivo era el de formalizar las matemáticas como ya se había hecho con el calculo cien años antes. Es decir, su idea era dotar las matemáticas de una estructura. 

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